Licence mathématiques

Analyse fonctionnelle.

Le cours d'analyse fonctionnelle donne une introduction à la théorie des espaces de Banach et de Hilbert, c'est-à-dire des espaces vectoriels réels (ou complexes), souvent de dimension infinie, munis respectivement d'une norme ou d'un produit scalaire qui sont complets. Entre autres, ce contexte permet de généraliser certains résultats connus sur les espaces vectoriels de dimension finie. Il offre aussi un cadre pour apprécier des résultats sur les séries de Fourier et les équations différentielles dans un contexte plus abstrait.

Le cours se focalise notamment sur les espaces de fonctions (e.g., théorème de Stone-Weierstrass, théorème de représentation de Riesz, base hilbertienne, inégalité de Bessel, égalité de Parseval). La théorie spectrale des opérateurs est brièvement abordée (définition du spectre et opérateurs compacts). 

Prérequis : analyse 1 et 2, algèbre linéaire 1 et 2

Géométrie.

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Analyse numérique.

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Histoire des mathématiques 2.

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Tremplin métier / tremplin master.

Tremplin master. Ce cours a pour objectif de préparer au mieux les étudiant.e.s de Licence Mathématiques, à leur entrée éventuelle en Master. Plusieurs axes seront abordés :

• les connaissances mathématiques des étudiant.e.s seront complétées : il sera proposé de découvrir certaines thématiques non-abordées dans les autres cours, au travers de cours succincts ou de projets (programme à établir) ;
• les compétences annexes des étudiant.e.s seront renforcées, à travers la rédaction de mémoires et de supports de présentation, l'utilisation de logiciels mathématiques ;
• une aide et des compléments d'information pourront être apportées pour la candidature en master : aperçu des différents masters, plateformes de candidature, aide à la rédaction de dossier, etc.

Tremplin métier. Le cours s’adresse aux étudiant.es qui s’intéressent à l’enseignement comme leur futur métier. D’un côté il y a une présentation des masters MEEF (métiers de l'enseignement, de l'éducation et de la formation) et des différents types de concours (CAPES, Agrégation). De l’autre des sujets mathématiques sont abordés qui sont pertinents pour ces concours.

Stage/projet.

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Calculabilité et complexité.

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Théorie de l'information.

Le cours introduit à la théorie de l'information discrète et discute aussi son application en cryptologie. On commence avec le schéma de communication et les notions d'information et d'entropie de Shannon. Les propriétés de l'entropie, le principe de non-création d'information et le théorème de codage du source sont démontrés. Ensuite, par le modèle cryptographique de Shannon, la théorie de l'information est appliquée à la cryptologie. Les notions d'entropie de Renyi et la min-entropie sont introduites dans ce contexte.

Préréquis : Analyse 1 et 2, Probabilités (les notions utiles seront brièvement rappelées).