Licence mathématiques

Équations différentielles.

Ce cours présente les bases de la théorie des équations différentielles en mettant l’accent sur la théorie linéaire avec l’étude des différentes techniques de résolution des équations, existence et unicité des solutions, dépendance des conditions initiales. Ensuite, une étude des équations différentielles non-linéaires est abordée, existence locale de solution, théorème de Cauchy-Lipschitz, solutions maximales…

Organisation des cours (CM + TD) :

1. Equations différentielles à coefficients constants. Equation caractéristique. Variation de la constante.
2. Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants. Exponentielle de matrice.
3. Equations différentielles à coefficients variables. Séparation de variables.
4. Description des systèmes dynamiques non-linéaires.
5. Equations différentielles non-linéaires, autonomes et non autonomes.
6. Existence locale de solutions, théorème de Cauchy-Lipschitz, solutions maximales.
7. Représentation d’état, stabilité et stabilité asymptotique des points d’équilibre, théorème de Lyapunov.
8. Problèmes de commandabilité, observabilité et stabilisation par retour d’état.

Prérequis : bonnes connaissances en analyse et en algèbre linéaire de L1 et L2 mathématiques.

Probabilités.

L’objectif de ce cours est d’acquérir les notions théoriques du calcul de probabilités : espaces de probabilités, lois usuelles discrètes et continues, densité de probabilité, variables aléatoires, espérance et variance, fonctions génératrices et fonctions caractéristiques. Chemin faisant, on abordera la théorie de l’intégration de Lebesgue et les théorèmes classiques de convergence. On finira le cours avec le théorème de la limite centrale et si le temps le permet, on abordera l’étude des vecteurs aléatoires.

Prérequis : notions élémentaires de probabilités et d’analyse.

Algorithmique et optimisation.

Ce cours est une introduction aux techniques d'optimisation convexe avec leurs aspects théoriques et pratiques. On abordera le calcul différentiel, les extremas locaux et globaux, avec ou sans contrainte, l'analyse convexe et les algorithmes d'optimisation tels que la descente du gradient. Comme application, un projet d'étude sur l'apprentissage profond sera demandé aux étudiants vers la fin du cours.

Prérequis : algèbre linéaire, calcul différentiel à plusieurs variables.

Histoire de la logique.

Comme toute discipline – la philosophie, les mathématiques, l’informatique, etc. – la logique a une histoire, ici longue d’environ 2 500 ans. Mais utiliser l’expression « histoire de la logique » pose deux questions. En quel sens peut-on parler de la logique ? Ne devrait-on pas dire plutôt les logiques ? Si on dit « la logique », en quoi consiste-t-elle ? Et s’il y a plutôt des logiques, qu’ont-elles de commun, qu’ont-elles de différent ? C’est avec ces deux questions à l’esprit qu’on propose ce cours. 

On verra d’abord comment « la » logique, prenant d’emblée deux formes concurrentes, est née dans la Grèce antique, au voisinage de la philosophie et de la grammaire, avec Aristote d’une part, les stoïciens d’autre part. On montrera ensuite quels amendements le Moyen Âge a apporté à la logique aristotélicienne, avant que les XVIe et XVIIe siècles n’en fassent souvent une critique sévère. Le renouveau de la logique a lieu au XIXe siècle, lorsque Boole d’un côté, Frege de l’autre, l’associent aux mathématiques et la dotent d’une langue symbolique, là aussi de deux manières différentes, dont on examinera la genèse, le contenu et les prolongements. On verra enfin comment le XXe siècle en a renouvelé le champ et l'usage, en l’incluant dans les débats philosophiques et le développement de l’informatique. 

M3P.

Ce cours Méthodes pour réussir ses Projets Personnels et Professionnels (M3P L3), toujours co-construit avec le SCUIO-IP, prend la suite des séances de l'EC M3P L2 de la deuxième année.

Le but de ce module est de vous engager dans une posture active pour savoir mieux "négocier" vos propositions afin de réussir au mieux vos projets professionnels. Cela permettra en particulier de remédier à vos difficultés rencontrées lors de la recherche de stage ou pour une première embauche. Ainsi, au-delà de la nécessaire présentation classique CV & lettre de motivation, dont on travaillera néanmoins les contenus, le but est d’inciter à adopter une démarche collective, dans une logique de projet, telle que vous pourrez la rencontrer plus tard dans le cadre professionnel.

Pour cela, il s'agira :

• d'identifier ensemble les ressources dont disposent les étudiants et de construire une démarche d’équipe,
• de réussir à les mettre en confiance en valorisant leurs compétences qui peuvent déjà être mises en avant du fait de leurs expériences et mettre en valeur ainsi ce qu'ils "offrez" à un futur responsable de stage ou employeur,
• et d'appréhender les attentes recherchées par ces derniers lors d’un recrutement, ainsi que les moyens mis en œuvre pour cela.

Un travail particulier sera développé quant à la prise de parole en public afin de crédibiliser les démarches.

Introduction à la théorie des codes.

Ce cours est la première étape du cursus de théorie des codes, qui commence en licence et qui se poursuit également dans le parcours ACC de notre master. Il s'agit d'une introduction aux concepts classiques de théorie des codes. Sont essentielles pour pouvoir le suivre dans de bonnes conditions la connaissance et la pratique des notions étudiées dans les différents cours de la 1ère et 2ème année, notamment Algèbre Linéaire 1 et 2 et le cours Anneaux et corps .

Le programme du cours prévoit :

• d'introduire les premières notions sur les codes : exemples historiques, métrique de Hamming ;
• d'étudier des grandeurs et objets fondamentaux des codes linéaires : matrice génératrice et de contrôle, paramètres, bornes, distribution des poids, notion d’équivalence, décodage par syndrome ;
• d'illustrer ces études par des familles de codes remarquables: codes de Hamming, codes de Reed-Muller, codes de Golay binaires.

Prérequis : Structures discrètes, Théorie des nombres élémentaire, Algèbre Linéaire 1 et 2, Anneaux et corps.
Page web :https://www.math.univ-paris13.fr/~borello/introcodes/20232024/introcodes.html

Introduction à la cryptologie.

Ce cours propose une introduction à la problématique de la cryptologie, autour des concepts de confidentialité des données et d'authentification. Après introduction du vocabulaire et un passage par les chiffrements traditionnels (en particulier les chiffrements de Vernam et de substitution), on se focalisera sur des moyens modernes de sécuriser des donneés et sur différents modèles d'attaque de ces systèmes. Les deux grandes classes de cryptosystèmes seront étudiées.

• La cryptographie symétrique : le chiffrement par flot, au travers des LFSR (description et fonctionnement) pour lequels on verra les notions mathématiques de polynôme caractéristique et de connexion, de période, de complexité linéaire ; le chiffrement par bloc, par exemple DES et AES, leurs modes opératoires, et leur représentation par des fonctions booléennes.
• La cryptographie asymétrique : après avoir introduit les concepts de fonction à sens unique, de problème "difficile" et de trappe, on construira le protocole d'échange de clés de Diffie-Hellman, les systèmes de chiffrement de Rabin, RSA, et El Gamal. Si le temps le permet, une introduction à la notion de signature numérique sera donnée.

Prérequis : arithmétique sur les entiers (anneau ℤ/nℤ, calcul modulaire, fonction d'Euler), théorie des groupes et des anneaux (groupes finis, ordre d'un élément, théorème de Lagrange, lemme chinois), arithmétique des polynomes (division euclidienne des polynômes, polynomes irréductibles).