Licence mathématiques

Structures discrètes (théorie et pratique).

Le cours est une introduction à l'étude des structures dites discrètes en mathématiques.
Une première partie du cours aborde l'arithmétique, c'est-à-dire l'étude des entiers, probablement les objets discrets les plus connus. La deuxième partie représente une approche plus abstraite et propose une introduction aux structures algébriques.
Partant de connaissances pré-établies sur la nature des nombres premiers, le cours approfondit dans un premier temps ces connaissances avec preuves, concepts, méthodes et applications. Dans un deuxième temps, ces connaissances enrichies seront utilisées pour expliquer et illustrer des concepts mathématiques plus abstraits comme les relations, et les structures algébriques (groupe, anneau et corps).
Les notions et théorèmes discutés dans le cours sont : axiomes de Peano, divisibilité, nombres premiers, division euclidéenne, algorithme d'Euclide, PGCD, PPCM, théorème de Bézout, lemme de Gauss, congruences, décomposition en produit de nombres premiers, bases de numération, équations diophantiennes simples ; ainsi que : relations d'ordre et d'équivalence, groupes, anneaux, corps et structure quotient ℤ/nℤ.
Le cours dispose d'une partie "théorie" (définitions, résultats, démonstrations) et d'une partie "pratique" qui met l'accent sur des exercices d'application.

Structures continues (théorie et pratique).

Ce cours est la première étape du cursus d'analyse et d'algèbre de la licence de mathématiques. Les notions abordées doivent être acquises pour aborder la suite du programme de mathématiques de la licence. Sont ainsi successivement étudiés :

• une introduction au raisonnement scientifique : formalisation du langage mathématique, techniques de raisonnement ;
• des rappels sur le calcul dans les réels : notions de majorant et de borne supérieure, suites arithmétiques et géométriques, équations et inéquations du second degré, notions de trigonométrie, fonctions élémentaires et leur réciproque ;
• quelques éléments de la théorie des ensembles, en particulier les notions d’application et de bijection ;
• l’anneau des polynômes : structures des ensembles (groupe, anneau, corps), recherche des racines et leurs qualités ;
• les nombres complexes : construction du corps des complexes, calcul, racines des polynômes complexes ;
• une première étude détaillée des suites réelles.

Le cours dispose d'une partie "théorie" (définitions, résultats, démonstrations) et d'une partie "pratique" qui met l'accent sur des exercices d'application.

Prérequis : la maîtrise des notions développées en terminale est d'un grand renfort pour pouvoir suivre ce cours dans de bonnes conditions.
Page Moodle :

Introduction à l'histoire des sciences.

Ce cours propose une introduction à l’histoire des sciences. On y abordera les différentes évolutions des sciences mathématiques et de la physique, ce qui permettra de réfléchir aux questions et problèmes liés aux sciences modernes et à la connaissance scientifique d’aujourd’hui : qu’est-ce que la méthode scientifique ? quel est le rôle de l’expérience ? comment un nouveau résultat est-il accepté et diffusé ? quelles sont les institutions sur lesquelles repose la pratique de la science ? quel est son rôle dans la société ?
Le cours est organisé de manière à la fois chronologique et thématique. Nous étudierons d’abord la "fabrication" des nombres en mathématiques, avec la mise en place de systèmes de numérations dans la Mésopotomie ancienne et dans le monde arabe médiéval.
En abordant la période moderne (XVIe-XVIIIe siècle), nous nous intéresserons ensuite à la question de l'accès qu'offrent les sciences à la réalité physique qui nous entoure : comment connaitre et représenter la Terre ? comment appréhender l’univers ? comment mesurer le temps ? qu’est-ce qui différencie la science « moderne » de celle pratiquée auparavant ?
Nous terminerons en nous interrogeant sur les problèmes posés par le développement des sciences dans les sociétés contemporaines (XIXe-XXe siècle) : comment établir une mesure précise ? comment estimer une population ou un risque ? comment calculer les valeurs chiffrées dont on a besoin ? et, plus largement, quelles sont les implications du développement exponentiel des sciences dans nos sociétés ?
L’objectif de ce cours est donc de se constituer une culture de base sur l’histoire des sciences, mais aussi de s’interroger sur la manière dont les sciences se développent et de réflechir à leur rôle dans les sociétés anciennes et contemporaines. Le cours s’appuiera sur l’étude de textes scientifiques accessibles. Des repères bibliographiques et des compléments relatifs au thème traité sont donnés sur la page moodle associée au cours.

Remarque : le contenu de ce cours peut varier sensiblement suivant l'enseignant·e.

Méthodologie de la programmation (théorie et pratique).

Dans ce module, nous développons majoritairement deux compétences : créer des procédures pour résoudre un problème donné, et coder ces procédures dans des langages de programmation.
Pour ce faire, nous abordons l'abstraction d'un problème et sa décomposition en parties pertinentes à sa résolution. Puis, nous imaginons par quels moyens calculatoires un ordinateur pourrait résoudre ces sous-problèmes. Enfin, nous spécifions minutieusement l'ensemble des instructions nécessaires pour que l'ordinateur les résolvent, c'est-à-dire, nous concevons l'algorithme (la "recette") à suivre pour la résolution. Cet algorithme est ensuite traduit dans un des langages de programmation existants, afin d'être exécuté sur une machine.
En particulier, dans ce cours nous étudions les structures de contrôle élémentaires (tests, boucles) et plusieurs façons de stocker et manipuler les données pendant l'exécution d'un programme. Nous mettrons l'accent sur la pratique, avec plusieurs exercices en salle machines.

M2E (méthodologie de l'expérience étudiante).

Le cours de méthodologie de l'expérience étudiante (M2E) a été conçu pour répondre aux difficultés rencontrées par les étudiants lors de leurs premières années universitaires.
Ce cours permettra aux étudiants d'acquérir et de s'approprier les exigences universitaires et vise également à développer leur confiance en eux.
L'objectif est de susciter la réflexivité de l'étudiant, en lui donnant les ressources nécessaires pour identifier et développer ses potentialités, discerner ces points d'améliorations, et ainsi construire et préciser son projet d'études tout en ouvrant ses perspectives professionnelles.
Il combine fondamentaux méthodologiques et spécificités disciplinaires avec une approche favorisant l'interaction et le travail en groupe, notamment par le biais d'une pédagogie inversée (mises en situation, ateliers d'écriture, argumentation orale...)

Introduction à la logique

Ce cours est centré sur l'introduction au calcul propositionnel, approché de manière pratique, avec quelques écarts sur des points méthodologiques ou théoriques. Ces techniques de calcul seront étudiées en lien avec la construction d'une démonstration rigoureuse (ex : preuves par induction), et mèneront à des réflexions plus avancées sur les concepts de vérité, de langage, de sémantique et de syntaxe. On s'intéressera également aux diverses formes mathématiques que peuvent prendre les objets impliqués dans ces calculs, ce qui permettra de faire un pont avec d'autres cours du semestre.

Théorie élémentaire des groupes

Ce cours a pour but d'initier à la manipulation d’une première structure algébrique, fondamentale en mathématiques : la structure de groupe. Pour cela :

• on commence par formaliser l’idée d’opération sur un ensemble en définissant les lois de composition interne et leurs propriétés (commutativité, associativité, élément neutre, symétrique, itérés) ;
• puis on introduit et étudie tour à tour les notions de groupe (définition, propriété de simplification), de sous-groupe (définition, structure, stabilité par itération, intersection) et de morphisme de groupes (définition, vocabulaire associé, règles de calcul, composées et réciproques, noyau et image).

On s’attachera à illustrer chacune des notions présentées au moyen d’exemples variés faisant intervenir des objets mathématiques de diverses natures (nombres, fonctions, ensembles, couples, etc).