Licence mathématiques

Algèbre linéaire 2.

Ce cours est la dernière étape du programme complet du cursus d'algèbre de la licence de mathématiques.  Le programme du cours prévoit d'étudier :

• la notion de déterminant : définition, propriétés, méthodes de calcul, bases et rang, matrice inverse ;
• la diagonalisation et et la trigonalisation : notion de valeurs propres et espaces propres, conditions nécessaires et suffisantes ;
• l'orthogonalité : produit scalaire, norme, angle, bases orthogonales, sous-espaces orthogonaux, transformations orthogonales, endomorphisme adjoint et autoadjoint.

Prérequis : structures discrètes, algèbre linéaire 1.
Page web : https://www.math.univ-paris13.fr/~borello/algebre2/20252026/algebre2.html

Analyse 2.

Ce cours a pour objet l'analyse détaillée des suites réelles et complexes, des séries numériques, ainsi que, possiblement, de l'intégrale de Riemann. Plus précisément, les thèmes suivants seront abordés :

• les développements limités : formules de Taylor, définitions et calculs pour des fonctions usuelles, applications ;
• les suites numériques définitions, notion de convergence, suites de Cauchy, suites extraites, suites remarquables, suites à valeurs complexes et vectorielles ;
• les séries réelles et complexes : définitions, convergence des séries à termes positifs, convergence absolue, théorèmes de comparaison, séries alternées, séries commutativement convergentes, règle d’Abel ;
• l’intégrale de Riemann : notions d’aire, sommes de Darboux, définition au sens de Riemann, espace vectoriel et algèbre des fonctions intégrables, classes de fonctions intégrables, relation d’ordre, théorèmes de la moyenne, intégrale fonction de sa borne supérieure.

Prérequis : structures continues, analyse 1.

Introduction aux probabilités.

Ce cours propose un premier aperçu de la théorie des probabilités, à travers l'étude illustrée de variables aléatoires communes et le calcul de paramètres associés (espérance, variance, mode, etc...). Le cours s'organise de la sorte :

• Le chapitre I prropose un rappel général sur la théorie des ensembles et l'analyse combinatoire.
• Le chapitre II traite des notions de base des probabilités : univers et événements, définition axiomatique de l'espace de probabilités et son lien avec la théorie de la mesure (tribu, mesure), système complet d'événements.
• Le chapitre III donne la définition d'une variable aléatoire discrète, illustrée par des exemples  dans les cas d'un univers fini ou infini dénombrable. Seront également abordés : le calcul des probabilités, le fonction de répartition, le calcul des moments, de l'espérance, de la variance, de l'écart-type et le théorème de transfert.
• Le chapitre IV traite de lois usuelles, lois discrètes finies et lois discrètes infinies telles que loi de Bernoulli, loi uniforme discrète, loi binomiale, loi géométrique et hypergéométrique et loi de Poisson.
• Le chapitre V s'intéresse d'abord au variables à valeurs dans un espace vectoriel, puis proposera comme application l'étude de la loi couple, des lois marginales, et leurs grandeurs associées.
• Le chapitre VI donne une introduction aux variables aléatoires continues. Seront abordés le calcul de densité de probabilité et de la fonction de répartition, les lois usuelles (loi uniforme continue, loi exponentielle, loi normale). Des calculs d’espérance et de variance seront menés à l'aide de quelques techniques d’intégrations.

Prérequis : notions de base de la théorie des ensembles et d'analyse (calcul de sommes, de séries et d'intégrales)

Histoire de l'informatique.

L’ordinateur moderne naı̂t d’abord après la 2nde Guerre Mondiale comme machine à calculer qui s’inscrit dans une logique industriel-militaire. Néanmoins, cette machine est aussi héritière de pratiques de rationalisation et d'automatisation en administration et en sciences du début du XXe siècle. A l'origine surtout une machine à calculer, l'ordinateur change encore profondément de nature dans les années 1960 et 1970. L’ordinateur deviendra un noeud dans un réseau de communication ; d’une situation où la machine est centrale (le ‘mainframe’), l’ordinateur va se miniaturiser, se démocratiser et devenir personnel et interactif, jusqu’à être partout et quand même presque invisible dans notre quotidien. Ce cours présente l’histoire de cette machine (et de sa programmation) à plusieurs visages et à plusieurs usages.

Algorithmique et structures de données

Le cours d'algorithmique et structures de données donne les bases d'algorithmique indispensables à tout futur développeur : il permet d'apprendre les techniques nécessaires et les concepts de base de l'algorithmique et de la programmation, les assimiler et les utiliser pour analyser des problèmes simples, construire des algorithmes qui les résolvent et écrire les programmes correspondants.
Programme détaillé :

• Notions de base d'algorithmique ;
• Savoir écrire un algorithme simple en langage algorithmique ;
• Manipuler des variables de type booléen, entier, réel, caractère ;
• Connaître les structures de séquence, choix et répétition ;
• Savoir découper un programme en fonctions et procédures ;
• Étude des types abstraits de données suivants : tableaux, piles et files, listes linéaires chaînées ;
• Manipulation des pointeurs et allocation dynamique ;
• Notions d'algorithme récursif ;
• Programmation structurée et modulaire (compilation séparée) ;
• Notions de complexité ;
• Savoir implémenter tout ceci dans le langage C.

Tremplin master / tremplin réussite

Tremplin master. Ce cours se veut une introduction aux masters de mathématiques, dont la structure et le contenu potentiel seront brièvement présentés. En outre, il est destiné à contribuer à la formation de compétences techniques telles que la rédaction scientifique en Latex, la lecture et la recherche d'articles scientifiques, et la présentation orale de sujets mathématiques.

Tremplin réussite. ... descriptif à venir ...

Théorie élémentaire des nombres.

Dans la première partie de ce cours, un rappel sera donné sur les outils de base de l’arithmétique : nombres premiers, divisibilités, pgcd, ppcm, algorithme d’Euclide, lemme de Bézout, binôme de Newton. Ensuite, on donnera un aperçu sur les structures algébriques de base (groupes, anneaux, corps) en se focalisant sur la structure des anneaux modulaires Z/nZ. Cela nous permettra de démontrer des résultats élémentaires de la théorie des nombres : la généralisation du petit théorème de Fermat en utilisant l’indicatrice d’Euler, et le théorème des restes chinois. On utilisera ce dernier pour résoudre des systèmes linéaires d’équations modulaires.

Logique

Ce cours est la suite du cours d'introduction à la logique (S1). Une première partie s'intéresse à la traduction de contraintes et de problèmes en calcul propositionnel (afin d'identifier son pouvoir d'expression et son utilité). On étudiera notamment des algorithmes vérifiant la consistance d'ensembles de clauses. Une deuxième partie du cours se focalise sur le théorème de compacité, permettant d'étendre des propriétés "finies" à l'infini (par exemple : théorème des 4 couleurs, extension d'ordre partiel en ordre total, etc.). Enfin, une dernière partie (plus ou moins longue selon le temps imparti) est consacrée à une introduction au calcul des prédicats.