Licence mathématiques

Analyse 3

Ce cours fait partie du programme complet du cursus d'analyse de la licence de mathématiques. Suivant ce qui aura été étudié en analyse 2, seront successivement étudiés :

• l’intégrale de Riemann : notions d’aire, sommes de Darboux, définition au sens de Riemann, espace vectoriel et algèbre des fonctions intégrables, classes de fonctions intégrables, relation d’ordre, théorèmes de la moyenne, intégrale fonction de sa borne supérieure ;
• le calcul intégral : primitives usuelles, linéarité, changement de variables, intégration par parties, primitives de fonctions rationnelles, de composée de fonctions trigonométriques, de fonctions rationnelles hyperboliques, approche de méthodes d’intégration numérique ;
• les intégrales généralisées : intégrale sur un intervalle borné non compact et sur un intervalle non borné, changement de variables, intégration par parties ;
• les suites et séries de fonctions : notions et propriétés de la convergence simple, uniforme, absolue et normale ;
• les séries entières : définition, rayon de convergence, fonction somme d’une série entière, développement en série entière.

Statistiques.

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Logiciel de calcul formel

Ce cours est une introduction à la manipulation de logiciels de calcul formel, dans un contexte mathématique. Deux compétences principales seront enseignées. D'abord, les étudiant.e.s apprendront à utiliser un logiciel de calcul formel, par l'apprentissage de la syntaxe des structures et opérations élémentaires (opérations arithmétiques, conditions, boucles) et la construction d'objets mathématiques structurés (vecteurs, matrices, graphes). Ensuite, les étudiant.e.s seront invité.e.s à intégrer cet outil dans la résolution de problèmes mathématiques : modélisation du problème, implantation, analyse du résultat, sortie graphique. Le logiciel choisi pour ce cours est Sagemath, logiciel libre s'appuyant sur le langage Python, et avec lequel on iteragira grâce à l'application web Jupyter.

Histoire des mathématiques 1

Ce cours propose un voyage à travers l’histoire de la géométrie, avec pour principal objectif de faire découvrir aux étudiants des cultures mathématiques variées dont ils sont généralement peu familiers (mathématiques très anciennes, mathématiques non européennes, etc.) tout en leur donnant l'occasion de pratiquer une branche des mathématiques peu présente dans les programmes universitaires. Le sujet n'est bien entendu pas traité de manière exhaustive, mais est abordé au travers d'études de cas basées sur la lecture et l’analyse de sources originales : calculs d'aires et de volumes en Égypte antique, algèbre géométrique babylonienne, géométrie rituelle des Sulba-Sutras indiens, procédure de la base et de la hauteur en Chine ancienne, géométrie axiomatico-déductive des Éléments d'Euclide, rapports entre artisans et géomètres dans le monde arabe médiéval, naissance de la géométrie analytique, éléments de géométrie moderne.

M3P

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Stage/projet

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Anneaux et corps

L'objectif du cours est tout d'abord de fournir un rappel complet mais succinct des structures algébriques usuelles (groupes, anneaux, corps et espaces vectoriels) et des compléments algébriques pour introduire les corps finis et la théorie associée.

Nous présenterons des résultats généraux d'une part sur les groupes (surtout les groupes finis en évoquant la notion de classes modulo un sous-groupe, théorème de Lagrange, groupe quotient d'un groupe abélien, sous-groupe engendré par un élément, ordre d'un élément, groupes cycliques, homomorphismes de groupes) et sur les anneaux (règles de calcul, en particulier formule binomiale de Newton).

Nous introduirons les anneaux intègres, anneaux principaux, anneaux produits et d'autres concepts importants tels que les idéaux et l'anneau quotient d'un anneau commutatif. Nous nous intéresserons en particulier à deux anneaux : l'anneau ℤ d'entiers relatifs et l'anneau K[X] des polynômes à coefficients dans un corps K. Nous étudierons ensuite :

• l'arithmétique sur ℤ : division euclidienne, nombres premiers, PGCD, algorithmes d'Euclide et d'Euclide étendu, PPCM
• l'arithmétique sur ℤ/nℤ : groupe multiplicatif des inversibles modulo n, théorème d'Euler, petit théorème de Fermat, théorème chinois (système de congruences), indicatrice d'Euler
• l'arithmétique sur K[X] et ses quotients : idéaux de K[X], PGCD et PPCM, polynômes irréductibles, racines d'un polynôme et algèbres quotient de K[X] modulo un idéal.

Le cours se terminera par une introduction aux corps finis (caractéristique, corps premiers ℤ/pℤ (où p est premier), polynômes irréductibles sur un corps fini, théorème d'existence unicité et construction de corps finis comme quotients de ℤ/pℤ[X], groupe multiplicatif d'un corps fini, élément primitif).

Fondements des mathématiques

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